题目内容
（理）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角α-l-β的平面角为150°，则球O的表面积为（ ）
| 3 |
| A、4π | B、16π |
| C、28π | D、112π |
分析：欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积．
解答：解：设平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B，
连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，
PA=1，PB=
，
设OP=R，则OA=
，OB=
设∠AOP=α，∠BOP=β，则sinα=
，cosα=
，sinβ=
，cosβ=
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
+
=sin30°=
∴R2=28
∴球O的表面积为4πR2=112π
故选D
连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，
PA=1，PB=
| 3 |
设OP=R，则OA=
| R2-1 |
| R2-3 |
设∠AOP=α，∠BOP=β，则sinα=
| 1 |
| R |
| ||
| R |
| ||
| R |
| ||
| R |
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
| 1 |
| R |
| ||
| R |
| ||
| R |
| ||
| R |
| 1 |
| 2 |
∴R2=28
∴球O的表面积为4πR2=112π
故选D
点评：本题考查了球的截面圆的性质，以及二面角的平面角的找法，综合性较强，做题时要认真分析，找到联系．
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