题目内容

已知:sin230°+sin290°+sin2150°=
3
2
; sin25°+sin265°+sin2125°=
3
2
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:
sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)
sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)
=
3
2
分析:分析已知条件中:sin230°+sin290°+sin2150°=
3
2
,sin25°+sin265°+sin2125°=
3
2
.我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方,且三个角组成一个以60°为公差的等差数列,右边是常数,由此不难得到结论.
解答:解:由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=
3
2

sin25°+sin265°+sin2125°=
3
2

归纳推理的一般性的命题为:
sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=
3
2

证明如下:
左边=
1-cos(2α-120°)
2
+
1-cos2α
2
+
1-cos(2α+120°)
2

=
3
2
-
1
2
[cos(2α-120°)+cos2α+cos(2α+120°)]
=
3
2
=右边.
∴结论正确.
故答案为:sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°).
点评:本题主要考查了归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想),(3)论证,属于基础题.
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