题目内容

某学校举办“有奖答题”活动,每位选手最多答10道题,每道题对应1份奖品,每份奖品价值相同.若选手答对一道题,则得到该题对应的奖品.答对一道题之后可选择放弃答题或继续答题,若选择放弃答题,则得到前面答对题目所累积的奖品;若选择继续答题,一旦答错,则前面答对题目所累积的奖品将全部送给现场观众,结束答题.假设某选手答对每道题的概率均为
23
,且各题之间答对与否互不影响.已知该选手已经答对前6道题.
(Ⅰ)如果该选手选择继续答题,并在最后4道题中,在每道题答对后都选择继续答题.
(ⅰ)求该选手第8题答错的概率;
(ⅱ)记该选手所获得的奖品份数为ξ,写出随机变量ξ的所有可能取值并求ξ的数学期望Eξ;
(Ⅱ)如果你是该选手,你是选择继续答题还是放弃答题?若继续答题你将答到第几题?请用概率或统计的知识给出一个合理的解释.
分析:(1)选手答对每道题的概率均为
2
3
,且各题之间答对与否互不影响,本题是一个相互独立事件同时发生的概率.根据选手已经答对前6道题,选手第8题答错包含第8道题答错且第7道题答错.
(2)可以计算一下若选择继续答第7题,则答完该题后获得的奖品份数η的数学期望,得到的期望小于6,选择放弃答题.
解答:解:(1)∵选手答对每道题的概率均为
2
3
,且各题之间答对与否互不影响,
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率.
(i)记“选手答对第i题”为事件Ai,则P(Ai)=
2
3
(i=1、2、3…10)
P(A)=P(A7
.
A8
)=P(A7)P(
.
A8
)=
2
3
×
1
3
=
2
9

该选手第8题答错的概率为
2
9

(ii)ξ的所有可能值为0,10
P(ξ=10)=P(A7A8A9A10)=
2
3
×
2
3
×
2
3
×
2
3
=
16
81

P(ξ=0)=1-P(ξ=10)=1-
16
81
=
65
81

∴Eξ=0×
65
81
+10×
16
81
=
160
81

(2)如果我是选手,那么答对前6个题后放弃答题.理由如下:
若选择继续答第7题,则答完该题后获得的奖品份数η的数学期望
Eη=0×
1
3
+7×
2
3
=
14
3
<6,
∴选择放弃答题.
点评:概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.
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