题目内容
已知x＝，y＝，求3x2－10x2y2＋3y2的值．
已知实数x、y满足
(1)求w＝x2＋y2的最大值、最小值；
(2)求u＝x2＋y的最大值、最小值；
(3)求t＝的最大值、最小值．
已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，我们可以通过下面方法求＋的最小值．
由＋＝(＋)(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2．
类比以上方法，求解下列问题：
已知a，b为正常数，且a＋b＝10，x，y为正数，且＋＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b(a＞b)的值．
已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b；
(2)求F(x)＝f(x)－g(x)的极值；
(3)求b的最大值．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
，y＝
，求3x2－10x2y2＋3y2的值．
，y＝，求3x2－10x2y2＋3y2的值．
的最大值、最小值．
＋
的最小值．
＋
＝(
＋
)(x＋2y)＝3＋
＋
≥3＋2
．
＋
＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b(a＞b)的值．
＋
的最小值．
＋
＝(
＋
)(x＋2y)＝3＋
＋
≥3＋2
．
＋
＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b(a＞b)的值．
x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
