Question

已知关于x的函数f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6．
（Ⅰ）当函数图象经过点（0，1）时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试证明函数有两个不相等的零点，且分别在区间（0，1）和（6，7）内．

Answer 1

解：（Ⅰ）当函数图象经过点（0，1）时，必有f（0）=2m+6=1，
解得m=，故f（x）的解析式为f（x）=x²-7x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-7x+1，
∵△=（-7）²-4=45＞0，∴方程x²-7x+1=0有两个不相等的实根，
∴函数f（x）=x²-7x+1有两个不相等的零点，
又因为f（0）=1，f（1）=-5，f（6）=-5，f（7）=1
所以f（0）•f（1）＜0，f（，6）•f（7）＜0，
由零点的存在性定理可得：函数的零点分别在区间（0，1）和（6，7）内．
分析：（Ⅰ）由f（0）=1，可建立关于m的方程，解之即可得f（x）的解析式；（Ⅱ）由△＞0，可得函数有两个不相等的零点，再由零点的判断定理可得他们分别在区间（0，1）和（6，7）内．
点评：本题考查函数零点的判断定理，涉及函数解析式的求解，属基础题．