题目内容
如图,四棱锥的底面是边长为
的正方形,侧棱
底面
,且
,
是侧棱
上的动点.
(Ⅰ) 求四棱锥的体积;
(Ⅱ) 如果是
的中点,
求证∥平面
;
(Ⅲ) 是否不论点在侧棱
的任何位置,
都有?证明你的结论.
(1)
解析:
(Ⅰ) ∵平面
,
∴ ……………………………2分
即四棱锥的体积为
. ……………………………4分
(Ⅱ) 连结交
于
,连结
.
∵四边形是正方形,
∴是
的中点.
又∵是
的中点,
∴. ………………………6分
平面
平面
…
…………………………8分
∴平面
. ……………………………9分
(Ⅲ)不论点在何位置,都有
. ……………………10分
证明如下:∵四边形是正方形,∴
.
∵底面
,且
平面
,∴
. ……12分
又∵,∴
平面
. ……………13分
∵不论点在何位置,都有
平面
.
∴不论点在何位置,都有
. ……………………………14分

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