题目内容

(06年湖南卷)(14分)

如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2,

(Ⅰ) 证明:  ;     (Ⅱ) 求异面直线所成的角;

(Ⅲ) 求点到平面的距离.

解析:解法一:(Ⅰ).连结AC、BD,设.由P-ABCD与Q-ABCD

都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.

从而P、O、Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.

       

(II)由题设知,ABCD是正方形,所以.由(I),平面,故可以分别以直线CA、DB、QP为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图),

由题设条件,相关各点的坐标分别是

所以,,于是

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ).由(Ⅱ),点D的坐标是(0,-,0),,          

,设是平面QAD的一个法向量,

    得.

取x=1,得.  所以点P到平面QAD的距离.

解法二:(Ⅰ).取AD的中点M,连结PM,QM.因为P-ABCD与Q-ABCD

都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

平面PQM,所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.

(Ⅱ).连结AC、BD设,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在

PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.

取OC的中点N,连结PN.

因为,所以

从而AQ∥PN.∠BPN(或其补角)是异面直线AQ

与PB所成的角.连接BN,

因为

所以

从而异面直线AQ与PB所成的角是

(Ⅲ).由(Ⅰ)知,AD⊥平面PQM,所以平面PQM⊥平面QAD. 过P作PH⊥QM

于H,则PH⊥平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离.

连结OM,则.所以

又PQ=PO+QO=3,于是.

即点P到平面QAD的距离是.

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