Question

若f（x）=2^x，则g（x）=

1

3-f(x)

的值域为

 

；h（x）=1+

1

f(x)+3

的值域为 (1，

4

3

)．

Answer 1

分析：【方法一】由f（X）＞0，容易得3-f（x）＜3，取其倒数即可；又f（x）+3＞3，取其倒数亦可．
【方法二】用g（x）、h（x）表示f（x），解不等式f（x）＞0，也可以求出g（x），h（x）的值域．

解答：解：【方法一】∵f（x）=2^x＞0，得：3-f（x）＜3，分两段取倒数，即0＜3-f（x）＜3，得

1

3-f(x)

＞

1

3

；
或3-f（x）＜0，得：

1

3-f(x)

＜0，∴g（x）∈（-∞，0）∪（

1

3

，+∞）；
又f（x）+3＞3，得：0＜

1

f(X)+3

＜

1

3

，即：1＜h（x）＜

4

3

．∴h(X)∈(1，

4

3

)
【方法二】由g(x)=

1

3-f(X)

，得f（x）=3-

1

g(x)

，∵f（x）=2^x＞0，∴3-

1

g(x)

＞0，解得：g（x）＜0，或g(x)＞

1

3

；
由h(x)=1+

1

f(x)+3

，得f（x）=

1

h(x)-1

-3，∵f（x）＞0，∴

1

h(x)-1

-3＞0，解得：1＜h(x)＜

4

3

．
故答案为：(-∞，0)∪(

1

3

，+∞)；(1，

4

3

)

点评：本题是抽象函数求值域的基础题，只要明确指数函数的值域，计算过程是容易的．