Question

19．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．
（Ⅰ）用ξ表示取到的4个球中红球的个数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（Ⅱ）取到的4个球中至少有2个红球的概率p=P（ξ≥2），由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{12}{25}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

ξ的数学期望Eξ=$0×\frac{9}{25}+1×\frac{12}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{25}$=$\frac{6}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得取到的4个球中至少有2个红球的概率：
p=P（ξ≥2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=$\frac{3}{10}+\frac{1}{25}$=$\frac{17}{50}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．