题目内容

若过椭圆

的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为a，则该椭圆的离心率为．

【答案】分析：根据题意，设过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，设A的坐标为（c，y），根据椭圆方程算出|y|=

，从而得到AB=

=a，可得a²=2b²，由此算出c=

，即可得到该椭圆的离心率．
解答：解：设过椭圆的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，
可设A的坐标为（c，y），
∴

，解之得y²=

，可得|y|=

因此，AB=

=a，可得a²=2b²，
∴c=

=

，可得椭圆的离心率e=

=

故答案为：

点评：本题给出椭圆的通径长等于它的半长轴a，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识点，属于基础题．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．
（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC=

时，求菱形ABCD面积的最大值．

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（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC= $数学公式$ 时，求菱形ABCD面积的最大值．

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．
（1）求椭圆∑的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC=

时，求菱形ABCD面积的最大值．