题目内容

已知抛物线C的顶点是坐标原点,对称轴是x轴,且点P(1,-2)在该抛物线上,A,B是该抛物线上的两个点.
(Ⅰ)求该抛物线的标准方程及焦点坐标;
(Ⅱ)若直线AB经过点M(4,0),证明:以线段AB为直径的圆恒过坐标原点;
(Ⅲ)若直线AB经过点N(0,4),且满足
BN
=4
AN
,求直线AB的方程.
分析:(Ⅰ)设抛物线C的标准方程为y2=2px,p>0.由点P(1,-2)在该抛物线上,能求出该抛物线的标准方程及焦点坐标.
(Ⅱ)设原点为O,A(x1,y1),B(x2,y2),AB直线方程为y=m(x-4),代入抛物线方程得:m2•(x-4)2=4x,m2x2-(8m2+4)x+16m2=0,利用韦达定理结合题设条件能够证明以线段AB为直径的圆恒过坐标原点.
(Ⅲ)A(x1,y1),B(x2,y2),由
BN
=4
AN
,得
BA
=3
AN
,即A为线段BN的定比分点,λ=3,由此能求出直线AB方程.
解答:解:(Ⅰ)∵抛物线C的顶点是坐标原点,对称轴是x轴,且点P(1,-2)在该抛物线上,
∴设抛物线C的标准方程为y2=2px,p>0.
∵点P(1,-2)在该抛物线上,
∴4=2p,解得p=2,
∴该抛物线的标准方程为y2=4x,焦点坐标为F(1,0).
(Ⅱ)设原点为O,A(x1,y1),B(x2,y2),AB直线方程为y=m(x-4),
代入抛物线方程得:m2•(x-4)2=4x,m2x2-(8m2+4)x+16m2=0,
则x1+x2=
8m2+4
m2
,x1x2=16,
y1+y2=m(x1+x2-8)=
4
m

y1y2=m2(x1-4)(x2-4)=-16
AB2=(x1-x22+(y1-y22=(x1+x22-4x1x2+(y1+y22-4y1y2
=
(8m2+4)2
m4
-64+16-m2+64
=
80m4+64m2+16
m4

OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=(x1+x22-2x1x2+(y1+y22-2y1y2
=
(8m2+4)2
m4
-32+16-m2+32=
80m4+64m2+16
m4
=AB2
所以,以线段AB为直径的圆恒过坐标原点.
(Ⅲ)A(x1,y1),B(x2,y2),
BN
=4
AN
,得
BA
=3
AN

即A为线段BN的定比分点,λ=3,
x1=
x2
4
y1=
y2+12
4

y22=4x2,①
y2+12
4
2=4x1=x2,②
解得x2=4,y2=-4,
∴B(4,-4),
∵AB过N(0,4),
∴直线AB方程:
y-4
x
=
-4-4
4
,即 2x+y-4=0.
点评:本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的求法,考查圆恒过定点的证明,考查直线方程的求法.解题时要注意向量知识和韦达定理的合理运用.
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