Question

对于集合N={1，2，3…n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”为：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替的减、加后继数．例如集合{1，2，4，6，9}的“交替和”为9-6+4-2+1=6，集合{5}的“交替和”为5．用S_n表示集合N={1，2，3…n}的所有非空子集的“交替和”的总和，则（1）S₂=

 

；（2）S_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）S₂表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，求出S₂；
（2）根据“交替和”的定义：求出S₃、S₄，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n即可．

解答：解：（1）由题意，S₂表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，
又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，
∴S₂=1+2+2-1=4；
（2）S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12
S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32
∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n•2^n-1
故答案是4，n•2^n-1．

点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力，