Question

已知函数 y =" f" (x) 是定义在R上的增函数，函数 y =" f" (x-1) 的图象关于点 (1, 0)对称. 若对任意的 x, y∈R，不等式 f (x²-6x + 21) + f (y²-8y) < 0 恒成立，则当 x > 3 时，x² + y²的取值范围是

1. A.
   (3, 7)
2. B.
   (9, 25)
3. C.
   (13, 49)
4. D.
   (9, 49)

Answer 1

C
解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=表示区域内的点和原点的距离．
由下图可知：d的最小值是OA=
OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x²+y²的范围为（13，49）
故答案为：（13，49）