Question

（文科）已知椭圆的方程为3x²+y²=18．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）首先将椭圆方程化成标准方程，能够得出ab，c．然后根据椭圆的焦点坐标及离心率公式求出结果即可．
（2）先求出椭圆的顶点和焦点坐标，从而得到双曲线的焦点和顶点，进而得到双曲线方程．

解答：解：（1）∵椭圆3x²+y²=18即

x2

6

+

y2

18

=1，
∴a=3

2

，b=

6

由 c²=a²-b²，得c=2

3

，
∴离心率：e=

c

a

=

2 3

3 2

=

6

3

，
焦点坐标：F₁（0，-2

3

），F₂（0，2

3

）
（2）椭圆在y轴上的顶点坐标：（0，3

2

），（0，-3

2

），
焦点坐标：（0，-2

3

），（0，2

3

）
∴双曲线的焦点坐标是：（0，3

2

），（0，-3

2

），
顶点为（0，-2

3

），（0，2

3

）
双曲线的半实轴长为：2

3

，半虚轴长为：

(3 2 )2-(2 3 )2

=

6

．
∴双曲线方程为

y2

12

-

x2

6

=1．

点评：本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量，求出a、b、c是关键，同时要牢记椭圆和双曲线中的有关公式，属于基础题．