题目内容

为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级ABCDE
成绩(分)9070604030
人数(名)461073
(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数,求X的分布列及其数学期望EX;
(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.
【答案】分析:(I)本题是一个统计问题,根据统计数据,从而得出从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B”的概率得到结果.
(II)由题意知由题意知随机变量X可取0,1,2,3,结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率,写出分布列和做出期望值.
(III)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分.设从这30名学生中,随机选取2人,记两个人的成绩分别为m,n.得到基本事件的总数,不妨设m>n,再对m,n的取值情形进行分类讨论算出各自的基本事件数,最后根据概率公式计算即可求得事件M的概率.
解答:解:(I)根据统计数据可知,从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B”的概率为=
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B”的概率为
(II)由题意知随机变量X可取0,1,2,3,
∴P(X=0)=C3=;P(X=1)=C12=
P(X=2)=C2)=
P(X=3)=C3=
所以X的分布列为(必须写出分布列,否则扣1分)
X123
P
…(11分)
故Eξ=0×+1×+2×+3×=1,所求期望值为1.
(III)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分.
设从这30名学生中,随机选取2人,记两个人的成绩分别为m,n.
则基本事件的总数为
不妨设m>n,
当m=90时,n=60或40或30,基本事件的数为C(C+C+C);
当m=70时,n=40或30,基本事件的数为C(C+C);
当m=60时,n=30,基本事件的数为CC
∴P(M)==
∴从这30名学生中,随机选取2人,“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为
点评:本题考查等可能事件的概率,考查相互独立事件同时发生的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,本题是一个典型的综合题目.
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