Question

已知向量

u

=（x，y）与向量

v

=（y，2y-x）的对应关系用

v

=f（

u

）表示．
（1）证明对任意的向量

a

、

b

及常数m、n，恒有f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立；
（2）设

a

=（1，1），

b

=（1，0），求向量f（

a

）与f（

b

）的坐标；
（3）求使f（

c

）=（p，q）（p、q为常数）的向量

c

的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用新定义的向量之间的关系，结合向量的坐标表示的运算法则进行转化求解是解决本题的关键．设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明二者的相等；
（2）根据两个向量之间的关系依据题目所给的映射关系写出所求的向量坐标；
（3）利用方程思想设出所求向量的坐标，通过建立未知数的方程达到求向量坐标的目的．

解答：解：（1）设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），
∴m

a

+n

b

=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
f（m

a

+n

b

）=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
又mf（

a

）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（

b

）=n（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（

a

）+nf（

b

）=（my₁+ny₂，（2y₁-x₁）m+（2y₂-x₂）n）
=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
∴f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立．
（2）

a

=（1，1），∴f（

a

）=（1，2×1-1）=（1，1）；

b

=（1，0），∴f（

b

）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）设

c

=（x，y），∴f（

c

）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴

y=p 2y-x=q.

∴

c

=（2p-q，p）．

点评：本题考查新定义的问题的求解，关键要读懂向量通过该映射下的坐标与原坐标之间的关系，考查二维的运算问题，考查方程思想，考查学生对新知识的即兴理解能力．