Question

已知O为直角坐标系原点，P，Q的坐标均满足不等式组

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

，cos∠POQ的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：先画出不等式组

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

对应的平面区域，利用余弦函数在[0，

π

2

]上是减函数，再找到∠POQ最大时对应的点的坐标，就可求出cos∠POQ的最小值．

解答：解：满足不等式组

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

的平面区域如下图示：
因为余弦函数在[0，

π

2

]上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，
由图得，当P与A（7，1）重合，Q与B（4，3）重合时，角POQ最大．
此时k_OB=

3

4

，k_0A=7．由tan∠POQ=

7- 3 4

1+7× 3 4

=1?∠POQ=

π

4

?cos∠POQ=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）围成的角的问题．