Question

17．设函数$f（x）=\frac{{（1-a）{x^2}-ax+a}}{e^x}$
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程．
（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后①当a≥1时，②当$\frac{a}{1-a}＞2$，③当$\frac{a}{1-a}=2$，④当$0＜\frac{a}{1-a}＜2$，⑤当$\frac{a}{1-a}≤0$，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围．
第（2）问另解：f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\frac{-x+1}{e^x}$，则f（1）=0，
可得$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$，$f'（1）=-\frac{1}{e}$
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-1=0…（4分）
（2）$f'（x）=\frac{{（a-1）{x^2}+（2-a）x-2a}}{e^x}$=$\frac{{[{（a-1）x+a}]（x-2）}}{e^x}$
令f'（x）=0得${x_1}=\frac{a}{1-a}（a≠1）$或x₂=2…（6分）
①当a≥1时，f（x）在[0，2]递减，在[2，+∞）递增
当x→+∞时，f（x）→0f（x）_max=f（0）=a
②当$\frac{a}{1-a}＞2$即$\frac{2}{3}＜a＜1$时，f（x）在[0，2]和$[{\frac{a}{1-a}，+∞}）$递减，f（x）在$[{2，\frac{a}{1-a}}]$递增$f（\frac{a}{1-a}）=\frac{a}{{{e^{\frac{a}{1-a}}}}}≤a$解得0≤a≤1，所以$\frac{2}{3}＜a＜1$
③当$\frac{a}{1-a}=2$即$a=\frac{2}{3}$时，f（x）在[0，+∞）递减，f（x）_max=f（0）=a
④当$0＜\frac{a}{1-a}＜2$即$0＜a＜\frac{2}{3}$时，f（x）在$[{0，\frac{a}{1-a}}]$和[2，+∞）递减，在$[{\frac{a}{1-a}，2}]$递增，$f（2）=\frac{4-5a}{e^2}≤a$，解得$a≥\frac{4}{{{e^2}+5}}$，所以$\frac{4}{{{e^2}+5}}≤a＜\frac{2}{3}$
⑤当$\frac{a}{1-a}≤0$即a≤0时，f（x）在[0，2]递增，f（x）≥f（0）=a不合题意  …（11分）
综上所述：a的取值范围为$[{\frac{4}{{{e^2}+5}}，+∞}）$…（12分）
第（2）问另解：∵f（0）=a∴f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，
可化为$a≥\frac{x^2}{{{e^x}+{x^2}+x-1}}$对于x≥0恒成立，…（7分）
令$g（x）=\frac{x^2}{{{e^x}+{x^2}+x-1}}$，则${g^/}（x）=\frac{{x（x-2）（1-{e^x}）}}{{{{（{e^x}+{x^2}+x-1）}^2}}}$
于是g（x）在[0，2]上递增，在（2，+∞）上递减，
∴${g_{max}}（x）=g（2）=\frac{4}{{{e^2}+5}}$，
∴a的取值范围是$a≥\frac{4}{{{e^2}+5}}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的导数求解是的最值，考查转化思想以及计算能力．