Question

 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

    已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点．

   （1）若点满足，求点的坐标；

   （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点．若，证明：为的中点；

   （3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆 的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标．

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：(1) ；

(2) 由方程组，消y得方程，

因为直线交椭圆于、两点，

所以D>0，即，

设C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中点坐标为(x₀,y₀)，

则，

由方程组，消y得方程(k₂-k₁)x=p，

又因为，所以，

故E为CD的中点；

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k₂，由知F为P₁P₂的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．

，直线OF的斜率，直线l的斜率，

解方程组，消y：x²-2x-48=0，解得P₁(-6,-4)、P₂(8,3)．