题目内容

如图,P—ABCD是正四棱锥,ABCD—A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA= .

(1)求证:PA⊥B1D1;

(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角的大小;

(3)求B1到平面PAD的距离.

 

解法一:(1)以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).

=(-1,1,2),=(2,2,0),

·=0,

即PA⊥D1B1.

(2)平面BDD1B1的法向量为=(-2,2,0),=(2,0,0),=(1,1,2),

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则nn,

取n=(0,2,-1),

设所求的锐二面角为θ,则

cosθ=||=,

θ=arccos.

(3)=(2,2,-2),设所求的距离为d,

则d=||=.

解法二:(1)连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥平面ABCD.

又∵AC⊥BD,∴PA⊥BD.

∵BD∥B1D1,∴PA⊥B1D1.

(2)∵AO⊥BD,∴AO⊥PO.∴AO⊥平面PBD.

过点O作OM⊥PD于点M,连结AM,则AM⊥PD.

∴∠AMO就是二面角APDO的平面角.

∵AB=2,PA=,

∴AO=,PO==2,OM===.

∴tan∠AMO=,

即二面角的大小为arctan.

(3)用体积法求解:连结B1P,B1D,B1A,

h·S△PAD=AO·,

即有·2·=···,

解得h=,即B1到平面PAD的距离为.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网