题目内容

已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0;②f(
1
2
)=1
③对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)
(1)求证:f(1)=0,f(
1
x
)=-f(x)

(2)求证:f(x)在定义域内为减函数;
(3)求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集.
分析:(1)令x=y=1,即可求得f(1)=0,令x=x,y=
1
x
,即可证得f(
1
x
)=-f(x);
(2)设任意0<x1<x2,则
x2
x1
>1,可证得f(x2)-f(x1)<0;
(3)根据②可求得f(2)=-1,从而可得f(5-x)≥f(2),再利用f(x)在定义域内为减函数,即可求得其解集.
解答:证明(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,
令x=x,y=
1
x
,则f(1)=f(x)+f(
1
x
)=0,即f(
1
x
)=-f(x),
(2)∵x>1时,f(x)<0,设任意0<x1<x2,则
x2
x1
>1,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(
1
x1
)=f(
x2
x1
)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在定义域内为减函数;
(3)∵f(
1
2
)=1,f(
1
x
)=-f(x),
∴-f(2)=f(
1
2
)=1得,
∴f(2)=-1,即有f(2)+f(2)=-2,
∴f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2),
即f(5-x)≥f(2),又f(x)在定义域内为减函数,
∴0<5-x≤2,解得3≤x<5.
∴原不等式的解集为:{x|3≤x<5}.
点评:本题考查抽象函数及其用,难点在于(2)用单调性的定义证明f(x)在定义域内单调递减时的变化及(3)中对f(2)+f(5-x)≥-2的转化,突出考查化归思想,属于难题.
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