题目内容

设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N+,都有Sn=(m+1)-man(m为正常数).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)数列{bn}满足:b1=2a1,bn=
bn+1
1+bn-1
(n≥2,n∈N+),求数列{bn}的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列{
2n+1
bn
}
的前n项和Tn
分析:(1)由已知求出Sn+1=(m+1)-man+1,与Sn=(m+1)-man相减整理后可得
an+1
an
=
m
m+1
为定值,进而根据等比数列定义可得结论;
(2)由已知求出b1,再由bn=
bn-1
1+bn-1
分离常数后构造新数列{
1
bn
},可得数列{
1
bn
}是一个以
1
2
为首项,以1为公式差的等差数列,进而求出数列{bn}的通项公式;
(3)根据(2)的结论,利用错位相减法,可得数列{
2n+1
bn
}的前n项和Tn
解答:证明:(1)∵Sn=(m+1)-man…①
∴Sn+1=(m+1)-man+1,…②
②-①得
an+1=-man+1+man,即(m+1)an+1=man
即∴数列{an}是等比数列;
解:(2)∵n≥2,n∈N*时,bn=
bn-1
1+bn-1

∴bn•bn-1=bn-1-bn
1
bn
-
1
bn-1
=1
又∵n=1时,S1=a1=(m+1)-ma1
∴a1=1,b1=2a1=2,
1
b1
=
1
2

∴数列{
1
bn
}是一个以
1
2
为首项,以1为公式差的等差数列
1
bn
=n-
1
2
,∴bn=
2
2n-1

(3)∵
2n+1
bn
=(2n-1)2n
∴Tn=1•21+3•22+5•23…+(2n-1)2n…①
2Tn=1•22+3•23…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1…②
②-①得:
Tn=-2-2(22+23…+2n)+(2n-1)2n+1
=6+(2n-3)2n+1
点评:本题是数列问题比较经典的考题,是高考试卷考查数列的常见题型,首先要根据定义法,迭代法、构造数列法等求出数列的通项公式,再利用裂项法,错位相减法等求数列的前n项和.
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