题目内容
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形。
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积。
（2）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积。
解：（1）设椭圆的方程为
，F2（c，0）
∵△AB1B2是直角三角形，|AB1|=|AB2|，
∴∠B1AB2为直角，
从而|OA|=|OB2|，
即
∵c2=a2-b2，
∴a2=5b2，c2=4b2，
∴
在△AB1B2中，OA⊥B1B2，
∴S=
|B1B2||OA|=
∵S=4，
∴b2=4，
∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为
；
（2）由（1）知B1（-2，0），B2（2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，
消元可得（m2+5）y2-4my-16-0①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
，
∵
，
∴
=
∵PB2⊥QB2，
∴
∴
，
∴m=±2当m=±2时，①可化为y2±8y-16-0，
∴|y1-y2|=
=
∴△PB2Q的面积S=
|B1B2||y1-y2|=
×4×
=
。
，F2（c，0）∵△AB1B2是直角三角形，|AB1|=|AB2|，
∴∠B1AB2为直角，
从而|OA|=|OB2|，
即
∵c2=a2-b2，
∴a2=5b2，c2=4b2，
∴
在△AB1B2中，OA⊥B1B2，
∴S=
|B1B2||OA|=∵S=4，
∴b2=4，
∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为
；（2）由（1）知B1（-2，0），B2（2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，
消元可得（m2+5）y2-4my-16-0①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
，∵
，∴
=∵PB2⊥QB2，
∴
∴
，∴m=±2当m=±2时，①可化为y2±8y-16-0，
∴|y1-y2|=
=∴△PB2Q的面积S=
|B1B2||y1-y2|=×4×=。
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