Question

已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上．
（1）求圆C的标准方程．
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程；
（3）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出圆的标准方程，由题意列出三个方程组成方程组，利用消元法求解；
（2）设出点G、N的坐标，再由中点坐标公式用G点的坐标表示N点的坐标，再代入圆的方程，整理后得到点G轨迹方程；
（3）假设存在满足条件的直线l并设出其方程和点P、Q的坐标，联立圆的方程和直线方程消元后得到一元二次方程，再由韦达定理得到两根的乘积和判别式的符号求出b的范围，由OP⊥OQ列出关系式，求出b的值注意验证．

解答：解：（1）设圆C的标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题意列方程组，

(-3-a)2+b2=r2   (1-a)2+b2=r2     b=a+1

，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圆的方程为：（x+1）²+y²=4
（2）设N（x₁，y₁），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得

x1+3 2 =x y1+4 2 =y

?

x1=2x-3 y1=2y-4

∵N在圆C上，∴（2x-2）²+（2y-4）²=4，
即（x-1）²+（y-2）²=1，
∴点G的轨迹方程是（x-1）²+（y-2）²=1．
（3）设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b
由

(x+1)2+y2=4 y=x+b

?2x2+(2b+2)x+b2-3=0?x1x2=

b2-3

2

①
且△=4(b+1)2-8(b2-3)＞0?1-

2

＜b＜1+

2

同理可得：y1y2=

(b-1)2-4

2

②；
∵以PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化简得，b²-b-3=0
解得，b=

1± 13

2

；
∴经检验存在两条这样的直线l：y=x+

1± 13

2

点评：本题是直线与圆的方程综合性题，考查了用待定系数法求圆的方程，用代入法求动点的轨迹方程；对于存在性的处理方法，先假设存在再由题意用设而不求思想和韦达定理列出关系式，注意验证所求值的范围．