题目内容

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A₀是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．则数列A₀为

1，0，1

；
（2）若A₀为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，则l_2n关于n的表达式．是

l_2n=

（4ⁿ-1）

l_2n=

（4ⁿ-1）

．

分析：（1）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1，0”，直接可得数列A₀．
（2）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，由此能求出l_2n关于n的表达式．

解答：解：（1）∵数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴由变换T的定义可得A₁：0，1，1，0，0，1．…（2分）
A₀：1，0，1．…（4分）
（2）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，
所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由变换T的定义及A₀：0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有2^k+1个，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l₁=1，l₂=1，
当k≥3时，
若k为偶数，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=

1•(1-4

)

1-4

（2k-1），
经检验，k=2时，也满足lk=

（2k-1）．
∴l_2n=

（4ⁿ-1）．
故答案为：1，0，1；

（4ⁿ-1）．

点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，注意新定义的准确理解，解题时要合理地挖掘题设中的隐含条件，恰当地进行等价转化．

练习册系列答案

对于数列A：a₁，a₂，a₃(a_i∈N，i＝1，2，3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i＝|a_i－a_i+1|(i＝1，2)，且b₃＝|a₃－a₁|．这种“T变换”记作B＝T(A)．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c₁，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

(Ⅰ)试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

(Ⅱ)设A：a₁，a₂，a₃，B＝T(A)．若B：b，2，a(a≥b)，且B的各项之和为2012．

(ⅰ)求a，b；

(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．

对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c₁，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设A：a₁，a₂，a₃，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．
（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．

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