Question

下列说法中正确的序号是：

②③

①函数y=x -

3

2

的定义域是{x|x≠0}；
②函数f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域是（2，3）；
③函数y=lg

1-x

1+x

在定义域上为奇函数；
④若3^x+3^-x=2

2

，则3^x-3^-x的值为2．

Answer 1

分析：将函数的解析式化为根式，进而根据使函数解析式有意义的原则求出函数的定义域，可判断①；
利用分离常数法和分析法，求出函数f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域，可判断②；
分析函数的定义域是否关于原点对称，并判断f（-x）+f（x）=0是否成立，进而根据奇函数的定义，可判断③；
利用平方法，根据3^x+3^-x=2

2

，求出（3^x-3^-x）²=4，但由于3^x与3^-x的大小不确定，故3^x-3^-x=±2，可判断④．

解答：解：函数y=x -

3

2

=

1

x3

，要使函数的解析式有意义，自变量须满足x＞0，故函数y=x -

3

2

的定义域是{x|x＞0}，故①错误；
函数f（x）=

3+2x

1+x

=2+

1

1+x

，当x＞0时，0＜

1

1+x

＜1，故2+

1

1+x

∈（2，3），故②函数f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域是（2，3）正确；
函数y=f（x）=lg

1-x

1+x

的定义域为（-1，1）关于原点对称，则f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg（

1+x

1-x

•

1-x

1+x

）=lg1=0，故函数③函数y=lg

1-x

1+x

在定义域上为奇函数正确；
若3^x+3^-x=2

2

，故（3^x+3^-x）²=3^2x+3^-2x+2=8，故3^2x+3^-2x=6；故（3^x-3^-x）²=3^2x+3^-2x-2=4，故3^x-3^-x=±2，故④错误
故答案为：②③

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性的定义，有理数指数幂与根式，函数的定义域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．