Question

抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）若直线AB与x 轴交于点M（x₀，0），且y₁•y₂=-4，求证：点M的坐标为（1，0）．

Answer 1

分析：（1）由已知可设抛物线方程为y²=2px．因点P（1，2）在抛物线上，故p=2．由此知所求抛物线的方程是y²=4x，准线方程是x=-1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当AB斜率不存在时，y₁=-y₂=2代入y²=4x，x₁=x₂=1，M（1，0）；当AB斜率存在时，设AB：y=k（x-x₀）（k≠0），联立

y=k(x-x0) y2=4x

?

ky2

4

-y-kx0=0，得M（1，0）．

解答：解：（1）由已知可设抛物线方程为y²=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，∴p=2．
故所求抛物线的方程是y²=4x，（4分）
准线方程是x=-1．（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当AB斜率不存在时，y₁=-y₂=2代入y²=4x∴x₁=x₂=1，∴M（1，0）（8分）
②当AB斜率存在时，设AB：y=k（x-x₀）（k≠0），
联立

y=k(x-x0) y2=4x

?

ky2

4

-y-kx0=0
∴y₁•y₂=-4x₀=-4，∴x₀=1，即M（1，0）（12分）
综上：AB直线与x轴交点M（1，0）．

点评：本题考查抛物线的方程及其准线方程，解题时要注意抛物线性质的合理运用，仔细审题，注意合理地进行等价转化．