题目内容
平面上点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1(1)求出点P的轨迹方程;
(2)过点F作点P的轨迹动弦CD,过C、D两点分别作点P的轨迹的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出

【答案】分析:(1)由已知条件,点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离,故其轨迹为以F(0,1)为焦点的抛物线,从而可求点P的轨迹方程
(2)设
,
,由导数的几何意义可先求两切线的斜率,进而可得过抛物线上C、D两点的切线方程,切线的交点M的坐标为
设CD的直线方程为y=nx+1,代入x2=4y,根据方程的根与系数的关系可求,M的轨迹方程;利用向量的数量积的坐标表示及方程的根与系数的关系代入可求
解答:解:(1)由已知条件,点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离,故其轨迹为以F(0,1)为焦点的抛物线.
∵
∴P=2故点P的轨迹方程为x2=4y(6分)
(2)设
,
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是
,
∴两条切线的交点M的坐标为
设CD的直线方程为y=nx+1,代入x2=4y得x2-4nx-4=0
∴x3x4=-4故M的坐标为
故点M的轨迹为y=-1(10分)
∵
∴
=
=
而
=
故
(14分)
点评:本题目主要考查了抛物线定义的灵活应用求解抛物线的方程,解题的关键是根据题意进行转化,还考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程.
(2)设



解答:解:(1)由已知条件,点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离,故其轨迹为以F(0,1)为焦点的抛物线.
∵

∴P=2故点P的轨迹方程为x2=4y(6分)
(2)设


过抛物线上C、D两点的切线方程分别是


∴两条切线的交点M的坐标为

设CD的直线方程为y=nx+1,代入x2=4y得x2-4nx-4=0
∴x3x4=-4故M的坐标为

故点M的轨迹为y=-1(10分)
∵

∴

=


而

=

故

点评:本题目主要考查了抛物线定义的灵活应用求解抛物线的方程,解题的关键是根据题意进行转化,还考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程.

练习册系列答案
相关题目