题目内容

（理科）已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R），不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，若 $数学公式$ ，求数列{c_n}的变号数．

解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素∴△=a²-4a=0?a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x²-4x+4
∴S_n=n²-4n+4
当n=1时，a₁=S₁=1-4+4=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5
∴an= $\text{[math]}$ （n=1）
（n≥2且n∈N）…（5分）
（2）∵T_n= $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ ②
由①-②得 $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$ …（10分）

（3）由题设c_n= $\text{[math]}$
∵n≥3时，c_n+1-c_n= $\text{[math]}$ ＞0
∴n≥3时，数列{c_n}递增
∵c₄=- $\text{[math]}$ =＜0
即n≥3时，有且只有一个变号数
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0．
∴此处变号数有2个．
综上，得数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．…（13分）
分析：（1）先根据不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素再结合a＞0求出a=4，进而代入求出S_n=n²-4n+4；再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}的通项，再结合错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）先根据条件求出数列{c_n}的通项，再通过做差求出数列{c_n}的增减性，最后结合变号数的定义即可得到结论．
点评：本题主要考查已知数列的和求通项以及数列的错位相减法求和．解决第三问的关键在于通过做差得到数列的单调性，并理解新定义．