Question

一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追击所需时间和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角，设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇）．

Answer 1

分析：缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=12海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：由条件知∠ACB=120°，AC=12海里，
设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

得：

10t

sinα

=

14t

sin120°

，
∴sinα=

5 3

14

，
由余弦定理AB²=AC²+BC²-2ACBCcos∠ACB得：（14t）²=12²+（10t）²-240tcos120°，
解得：t=2或t=-

3

4

（舍），
∴t=2小时，sinα=

5 3

14

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．