题目内容
已知曲线Cn:y=nx2,点Pn(xn,yn)(xn>0,yn>0)是曲线Cn上的点(n=1,2,…),(1)试写出曲线Cn在Pn点处的切线ln为的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;
(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求点的坐标Pn(xn,yn)
【答案】分析:(1)由题意知y′=2nx,由此可知切线ln的方程:y-yn=2nxn(x-xn),令n=0得Qn(0,-nxn2).
(2)由题意知
=
.由此及彼可推导出p的坐标为
.
解答:解:(1)∵y′=2nx,
∴k=2nxn,切线lm的方程:y-yn=2nxn(x-xn),
令n=0得y=-2nxn2+yn=-nxn2,即Qn(0,-nxn2).
(2)切线方程可写成:2nxnx-y-2nxn2+yn=0.
,
=
.
当且仅当
,即
时,取等号,此时yn=nxn2,点P的坐标为
.
点评:本题以数列知识为载体,综合考查了导数知识和点到直线的距离公式,体现了出题者的智慧.
(2)由题意知



解答:解:(1)∵y′=2nx,
∴k=2nxn,切线lm的方程:y-yn=2nxn(x-xn),
令n=0得y=-2nxn2+yn=-nxn2,即Qn(0,-nxn2).
(2)切线方程可写成:2nxnx-y-2nxn2+yn=0.



当且仅当



点评:本题以数列知识为载体,综合考查了导数知识和点到直线的距离公式,体现了出题者的智慧.

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