题目内容
某超市计划在“五一”节期间对某种商品开展抽奖促销活动，设计的活动方案有两个：方案一：采取摸球抽奖的方法．在盒子中放入大小相同的10个小球，其中白球7个，黄球3个．顾客在购买一件该商品后，有连续三次摸球的机会，每次摸出一个小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一个黄球奖励价值20元的奖品一件．
方案二：采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖．顾客在购买该商品后，用力转动圆盘一次，根据箭头A指向确定获得相应价值的奖品一件（箭头A指向每个区域的可能性相等，指向区域边界时重新转动）．
（I）按照这两种方案各进行一次抽奖，分别求出顾客能中奖的概率；
（II）设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为X元，按照方案二抽奖顾客能获得的奖品的价值为Y元，分别求出X和Y的分布列和数学期望．
【答案】分析：（I）分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．
（II）由题意知变量的可能取值，对应于变量的不同值理解对应的事件，根据等可能事件的概率，做出分布列，写出期望．
解答：解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A
=720，
记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A
=210，
则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）=
=
，
按照方案一抽奖，中奖的概率为1-P（A）=
，
因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为
，
（II）由题意知，变量X的可能取值是0，20，40，60．
P（X=0）=
=
，P（X=20）=
=
，
P（X=40）=
=
，P（X=60）=
=
，
∴X的分布列是：
则EX=0×
+20×
+40×
+60×
=18．
由题意知，变量Y的可能取值是0，10，30，50．
P（Y=0）=
，P（Y=10）=P（Y=30）=P（Y=50）=
，
∴Y的分布列是：
则EY=0×
+10×
+30×
+50×
=9．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
（II）由题意知变量的可能取值，对应于变量的不同值理解对应的事件，根据等可能事件的概率，做出分布列，写出期望．
解答：解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A
=720，记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A
=210，则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）=
=，按照方案一抽奖，中奖的概率为1-P（A）=
，因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为
，（II）由题意知，变量X的可能取值是0，20，40，60．
P（X=0）=
=，P（X=20）==，P（X=40）=
=，P（X=60）==，∴X的分布列是：
则EX=0×
+20×+40×+60×=18．由题意知，变量Y的可能取值是0，10，30，50．
P（Y=0）=
，P（Y=10）=P（Y=30）=P（Y=50）=，∴Y的分布列是：
则EY=0×
+10×+30×+50×=9．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
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