题目内容

某渔场中鱼群的最大养殖量为2吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和鱼群实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 $数学公式$ ．（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）
（1）写出y关于x的函数关系式；并指出这个函数的定义域．
（2）求鱼群年增长量的最大值．

解：（1）由题意，空闲率为1- $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x（1- $\text{[math]}$ ），定义域为（0，2）；
（2）由（1）得y= $\text{[math]}$ x（1- $\text{[math]}$ ）
∵x∈（0，2），∴1- $\text{[math]}$ ∈（0，1）
∴y= $\text{[math]}$ x（1- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ x=1- $\text{[math]}$ ，即x=1时，取等号
∴x=1时，y_max= $\text{[math]}$
分析：（1）先求出空闲率，再利由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，即可得到y关于x的函数关系式，及这个函数的定义域；
（2）由（1）中给出的y关于x的函数关系式，利用基本不等式，即可求鱼群年增长量的最大值．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．