Question

等比数列的前n项的和S_n=k•3ⁿ+1，则k的值为

-1

．

Answer 1

分析：（法一）利用递推公式可得n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2k•3^n-1，由数列为等比数列可知a₁=3k+1适合上式，从而可求k
（法二）由等比数列的前n项和公式可得Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

•qn且S_n=1+k•3ⁿ可知

a1

1-q

=1，k=-

a1

1-q

解答：解：（法一）n=1时，a₁=S₁=3k+1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=k•3ⁿ+1-k•3^n-1-1=2k•3^n-1
数列为等比数列可知a₁=3k+1适合上式，则2k=3k+1
∴k=-1
（法二）由等比数列的前n项和公式可得Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

-

a1

1-q

•qn
∵S_n=1+k•3ⁿ
∴

a1

1-q

=1，k=-

a1

1-q

=-1
故答案为：-1

点评：本题主要考查了等比数列求和公式的应用，要注意解题方法中的递推公式时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1及等比数列求和公式的结构的应用．