题目内容
用向量探索几何的性质：（1）在△ABC中，D是线段BC的中点，证明：
| AB |
| AC |
| AD |
（2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，探究
| AB |
| AC |
| AD |
| AO |
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，并写出向量：
| PA1 |
| PA2 |
| PAn |
| PO |
分析：（1）证明：在△ABC中，D是线段BC的中点，利用在两个三角形中：在三角形ABD和三角形ACD中利用向量加法的几何意义结合相反向量即可获证；
（2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
+
+
=3
；取BC的中点E，连DE，利用点O是三角形BCD的重心，结合三角形的重心定理及（1）中的结论，即可证得；
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向量：
、
、…、
与
的等量关系是：
+
+…+
=n
．
（2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
| AB |
| AC |
| AD |
| AO |
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向量：
| PA1 |
| PA2 |
| PAn |
| PO |
| PA1 |
| PA2 |
| PAn |
| PO |
解答：
解：（1）证明：在△ABC中，D是线段BC的中点，
在三角形ABD中，
=
+
，
在三角形ACD中，
=
+
，
两式相加得：2
=
+
+
+
，
∵
=-
，
∴
+
=2
（2）把此结论推广到四面体：
设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
+
+
=3
证明：取BC的中点E，连DE，∵点O是三角形BCD的重心，
∴
=2
，
在三角形ABC中，由（1）得：
+
=2
，∴
=
(
+
)，
∵
=2
，∴
=
+
，
∴
=
+
×
(
+
)=
(
+
+
)
即：
+
+
=3
．
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向
量：
、
、…、
与
的等量关系是：．（不必证明）
+
+…+
=n
．
解：（1）证明：在△ABC中，D是线段BC的中点，在三角形ABD中，
| AD |
| AB |
| BD |
在三角形ACD中，
| AD |
| AC |
| CD |
两式相加得：2
| AD |
| AB |
| BD |
| AC |
| CD |
∵
| BD |
| CD |
∴
| AB |
| AC |
| AD |
（2）把此结论推广到四面体：
设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
| AB |
| AC |
| AD |
| AO |
证明：取BC的中点E，连DE，∵点O是三角形BCD的重心，
∴
| DO |
| OE |
在三角形ABC中，由（1）得：| AB |
| AC |
| AE |
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
∵
| DO |
| OE |
| AO |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| 2 |
| 3 |
| AE |
∴
| AO |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AD |
| AB |
| AC |
即：
| AB |
| AC |
| AD |
| AO |
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向
量：
| PA1 |
| PA2 |
| PAn |
| PO |
| PA1 |
| PA2 |
| PAn |
| PO |
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、归纳推理、向量加法的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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