题目内容

已知向量 $数学公式$ ，向量 $数学公式$ 是与向量 $数学公式$ 夹角为 $数学公式$ 的单位向量．
（1）求向量 $数学公式$ ；
（2）若向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 平行，与向量 $数学公式$ 垂直，求t=y²+5x+4的最大值．

解：（1）设 $\text{[math]}$ =（x，y），
∵向量 $\text{[math]}$ 是单位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ，
∴cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解方程组 $\text{[math]}$ ，
得x=0，y=1，或x= $\text{[math]}$ ，y=- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =（0，1），或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ =（0，1）和向量 $\text{[math]}$ 不平行，
∴向量 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 平行，与向量 $\text{[math]}$ 垂直，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因为-3x²+x＞0
所以0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
所以当x= $\text{[math]}$ 时，t=-3x²+6x+4取最大值t_max= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设 $\text{[math]}$ =（x，y），向量 $\text{[math]}$ 是单位向量，向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ，解方程组 $\text{[math]}$ ，能求出 $\text{[math]}$ =（0，1），或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ =（0，1）和向量 $\text{[math]}$ 不平行，知向量 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 平行，与向量 $\text{[math]}$ 垂直，得到3x²-x+y²=0．所以t=y²+5x+4=-3x²+6x+4，再由导数求t的最大值．
点评：本题考查数量积的性质和应用，解题时要认真审题，注意导数的灵活运用．