Question

3．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=3，a_n=$\frac{2{{s}_{n}}^{2}}{2{s}_{n}-1}$（n≥2）．求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列的递推公式，得到s_n-s_n-1=$\frac{2{{s}_{n}}^{2}}{2{s}_{n}-1}$（n≥2），化简整理得到$\frac{1}{{s}_{n}}$-$\frac{1}{{s}_{n-1}}$=2，继而得到数列{$\frac{1}{{s}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公差的等差数列，再根据a_n=s_n-s_n-1，即可求出{a_n}的通项公式

解答 解：当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，
∴s_n-s_n-1=$\frac{2{{s}_{n}}^{2}}{2{s}_{n}-1}$（n≥2），
∴s_n-1-s_n=2s_ns_n-1，
∴$\frac{1}{{s}_{n}}$-$\frac{1}{{s}_{n-1}}$=2，（n≥2），
∵$\frac{1}{{s}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$
∴数列{$\frac{1}{{s}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{s}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+2（n-1）=2n-$\frac{5}{3}$，
∴s_n=$\frac{3}{6n-5}$，
∴n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=-$\frac{18}{（6n-5）（6n-11）}$，
∵a₁=s₁=3，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3．n=1}\\{-\frac{18}{（6n-5）（6n-11）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用公式法求数列的通项公式，解题时注意式子的合理变形，属于中档题．