题目内容
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班25名女同学,15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.
(1)如果按性别比例分层抽样,男、女生各抽取多少名才符合抽样要求?
(2)随机抽出8名,他们的数学、物理分数对应如下表:
(i)若规定85分以上为优秀,在该班随机调查一名同学,他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少?
(ii)根据上表数据,用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果有较强的线性相关关系,求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果不具有线性相关关系,说明理由.
参考公式:相关系数r=
;
回归直线的方程是:
=bx+a,其中b=
,a=
-b
,
是与xi对应的回归估计值.
(1)如果按性别比例分层抽样,男、女生各抽取多少名才符合抽样要求?
(2)随机抽出8名,他们的数学、物理分数对应如下表:
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分数y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
(ii)根据上表数据,用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱.如果有较强的线性相关关系,求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果不具有线性相关关系,说明理由.
参考公式:相关系数r=
| ||||||||||||
|
回归直线的方程是:
y |
| |||||||
|
. |
y |
. |
x |
yi |
分析:(1)从全班25位女同学,15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,做出女生和男生在总人数中所占的比例,用比例乘以要抽取的样本容量,得到结果.
(2)(i)这是一个古典概率,由表中可以看出,所选的8名同学中,数学和物理分数均为优秀的有3人,根据等可能事件的概率公式得到结果.
(ii)首先求出两个变量的平均数,再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,把做出的系数和x,y的平均数代入公式,求出a的值,写出线性回归方程,得到结果.
(2)(i)这是一个古典概率,由表中可以看出,所选的8名同学中,数学和物理分数均为优秀的有3人,根据等可能事件的概率公式得到结果.
(ii)首先求出两个变量的平均数,再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,把做出的系数和x,y的平均数代入公式,求出a的值,写出线性回归方程,得到结果.
解答:解:(1)应选女生25×
=5名,男生15×
=3名.
(2)(i)由表中可以看出,所选的8名同学中,数学和物理分数均为优秀的有3人,
故所求概率是
.
(ii)变量y与x的相关系数是r≈
≈0.99.
可以看出,物理与数学成绩高度正相关.也可以数学成绩x为横坐标,物理成绩y为纵坐标做散点图(略).从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故物理与数学成绩高度正相关.
设y与x的线性回归方程是
=bx+a,根据所给数据可以计算出b≈
≈0.66,
a=84.875-0.66×77.5≈33.73,
所以y与x的线性回归方程是
=0.66x+33.73.
8 |
40 |
8 |
40 |
(2)(i)由表中可以看出,所选的8名同学中,数学和物理分数均为优秀的有3人,
故所求概率是
3 |
8 |
(ii)变量y与x的相关系数是r≈
688 |
32.4×21.4 |
可以看出,物理与数学成绩高度正相关.也可以数学成绩x为横坐标,物理成绩y为纵坐标做散点图(略).从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故物理与数学成绩高度正相关.
设y与x的线性回归方程是
y |
688 |
1050 |
a=84.875-0.66×77.5≈33.73,
所以y与x的线性回归方程是
y |
点评:本题考查线性回归分析的初步应用,考查分层抽样,考查条件概率,考查相互独立事件同时发生的概率,考查利用数学知识解决实际问题的能力,是一个比较好的综合题目.
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