题目内容

已知分别为椭圆的上下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且.

（1）      求椭圆的方程；（5分）

（2）      已知点和圆，过点的动直线与圆相交于不同的两

点，在线段上取一点,满足且.

   求证：点总在某定直线上.（7分）

 

【答案】

（1）（2）见解析

【解析】(I)根据抛物线的焦点坐标可求出c值，然后利用和抛物线的焦半径公式求出点M的坐标，根据点M在椭圆上，建立方程可求出椭圆的标准方程.

（1）      证明点Q总在一条直线上，就是证明点Q的坐标总是满足某条直线方程，设，由和可得四个方程，然后再结合点A、B都在圆上，对四个方程进行变形求解

（1）由知，，设，因在抛物线上，故，又，则，得，而点

在椭圆上，有，又，所以椭圆方程为 （5分）

（2）设，由,得，即  ①     ②

由，得  ③    ,  ④ --------  （7分）

  ①③,得 , ②④,得 -----（9分）

 两式相加得 ,又点在圆

 上,由(1)知,即在圆上,且,

（2）       ,即,点总在定直线上

 

练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F2，斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．
已知抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-
2
，
3
）．
（1）求椭圆方程；
（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；
（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由．
（2013•德州一模）已知F1，F2分别为椭圆C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF2|=
3
5
．
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
=λ
OP
，求实数λ的取值范围．

已知F1，F2分别为椭圆的上下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2＝4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|＝．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)已知点P(1，3)和圆O：x2＋y2＝b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足且λ≠±1．

求证：点Q总在某定直线上．

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