Question

如图，几何体ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB何AB的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

Answer 1

分析：（1）由F、G分别为EB、AB的中点，知FG=

1

2

EA，由EA、DC都垂直于面ABC，FG=DC，知四边形FGCD为矩形，由此能够证明FD∥面ABC．
（2）由AB=EA，且F为EB中点，知AF⊥EB，由FG∥EA，EA⊥面ABC，知FG⊥面ABC，从而推导出AF⊥面EBD，由此能够证明AF⊥BD．
（3）由FG⊥GB，GC⊥GB，知GB⊥面GCF．过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，所以HB⊥FC，故∠GHB为二面角B-FC-G的平面角．由此能够求出二面角B-FC-G的正切值．

解答：（1）证明：∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=

1

2

EA，又∵EA、DC都垂直于面ABC，FG=DC，
∴四边形FGCD为矩形，
∴FD∥GC，又∵GC?面ABC，
∴FD∥面ABC．
（2）证明：∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC．
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②
由①、②知AF⊥面EBD，
又∵BD?面EBD，∴AF⊥BD．
（3）解：由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，
∴GB⊥面GCF．
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC．
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角．
∵EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB何AB的中点，△ABC是正三角形，四边形FGCD为矩形，
∴BG=

1

2

AB=a，CG=

3

a，CF=2a，
∴GH=

a• 3 a

2a

=

3

2

a，
∴tan∠GHB=

a

3 2 a

=

2 3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法．解题时要注意空间思维能力的培养．