题目内容
【题目】有一薄透镜如图所示，
面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为
和
；
面是球面，其球心C与重合已知此透镜放在空气中时能使从无穷远且处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为
.
（1）求此透镜材料的折射率
（要论证）.
（2）如果将此透镜置于折射率为
的介质中，并能达到上述同样的要求，椭圆应满足什么条件？
【答案】（1）
（2）要求
【解析】
根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点
，则可满足题设要求.光路图如图所示：
为入射线，
为经椭球面折射后的折射线，
为A点处椭球面的法线，
为入射角，
为折射角。根据椭圆的性质，法线平分
，故
与法线的夹角也是，由正弦定律可得
.
从而可求得
.
为长轴的长度，
为焦点间的距离；即只要
满足以上条件，任意入射角为的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即）点，
（2）如果透镜置于折射率为
的介质中，则要求
，即椭圆的偏心率
应满足.
由于椭圆的
，故如果
就无解.只要
，总可以找到一个椭球面能满足要求，如果仅从中学物理规律方面来看，几何光学仅有光在均匀介质中沿直线传播、反射定律、折射定律等几个基本规律，或者说只有费马原理，但将其用于具体的背景下，则得到了不同的成像或光线的传播规律，如镜面反射成像、球面折射成像、薄透镜成像等等，由此引申出其他的问题.本题所给的模型其实也可作为定理推广的，只是模型普适性不强而已.从本题的推导过程看，没有扎实的数学基础，对圆锥曲线的性质不熟悉，问题便很难得到解决.有必要提醒从事物理竞赛学习的学生，圆锥曲线的各种性质应作专题研究，尽可能全面了解.
