题目内容

【题目】(本小题满分16分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为)千元.设该容器的建造费用为千元.

1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;

2)求该容器的建造费用最小时的

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)时,建造费用最小时时,建造费用最小时.

【解析】

1)由体积V=,解得l=

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π

l≥2r,即≥2r,解得0r≤2

其定义域为(02]

2)由(1)得,y′=8πc﹣2r﹣

=0r≤2

由于c3,所以c﹣20

r3=0时,则r=

=m,(m0

所以y′=

0m2c时,

r=m时,y′=0

r∈0m)时,y′0

r∈m2)时,y′0

所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.

m≥23c≤时,

r∈02)时,y′0,函数单调递减.

所以r=2是函数y的最小值点.

综上所述,当3c≤时,建造费用最小时r=2

cr=

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