题目内容

【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

【答案】
(1)解:当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即① ,或②

或③

解①可得x≤1,解②可得x∈,解③可得x≥4.

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}


(2)解:原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,

等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.

故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,

故a的取值范围为[﹣3,0].


【解析】(1)不等式等价于 ,或 ,或 ,求出每个不等式组的解集,
再取并集即得所求.(2)原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围.

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