题目内容
【题目】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图甲所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a–t图象如图乙所示。电梯总质量m=2.0×103 kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v–t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图乙所示的a–t图象，求电梯在第1 s内的速度改变量Δv1和第2 s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0~11 s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W。
【答案】（1）F1=2.2×104 N F2=1.8×104 N （2）Δv1=0.5 m/s v2=1.5 m/s （3）P=2.0×105 W W=1.0×105 J
【解析】（1）由牛顿第二定律，有F–mg=ma
由a–t图象可知，F1和F2对应的加速度分别是
a1=1.0 m/s2，a2=–1.0 m/s2，则
F1=m(g+a1)=2.0×103×(10+1.0) N=2.2×104 N
F2=m(g+a2)=2.0×103×(10–1.0) N=1.8×104 N
（2）类比可得，所求速度变化量等于第1 s内a–t图线与t轴所围图形的面积，可得Δv1=0.5 m/s
同理可得2 s内的速度变化量Δv2=v2–v0=1.5 m/s
v0=0，第2 s末的速率v2=1.5 m/s
（3）由a–t图象可知，11~30 s内速率最大，其值vm等于0~11 s内a–t图线与t轴所围图形的面积，此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率P=Fvm=mg·vm=2.0×103×10×10 W=2.0×105 W
由动能定理得，总功W=Ek2–Ek1=
mvm2–0=
×2.0×103×102 J=1.0×105 J
