Question

【题目】(2016全国卷Ⅰ，25)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)

(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；

(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；

(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。

Answer 1

【答案】 (1)2 (2) mgR (3) m

【解析】 (1)由题意可知：lBC＝7R－2R＝5R①

设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得

mglBCsin θ－μmglBCcos θ＝mv②

式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得

vB＝2③

(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，此时弹簧的弹性势能为Ep，由B→E过程，根据动能定理得

mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv④

E、F之间的距离l1为l1＝4R－2R＋x⑤

P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有

Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0⑥

联立③④⑤⑥式得

x＝R⑦

Ep＝mgR⑧

(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离为x1和竖直距离为y1，θ＝37°。由几何关系(如图所示)得：

x1＝R－Rsin θ＝3R⑨

y1＝R＋R＋Rcos θ＝R⑩

设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。

由平抛运动公式得：

y1＝gt2

x1＝vDt

联立⑨⑩得

vD＝

设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有

m1v＝m1v＋m1g(R＋cos θ)

P由E点运动到C点的过程中，由动能定理得

Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v

联立⑦⑧得

m1＝m