题目内容
【题目】(2016全国卷Ⅰ,25)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态,直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出),随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,AF=4R,已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=
,重力加速度大小为g。(取sin 37°=
,cos 37°=
)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小;
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能;
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点。G点在C点左下方,与C点水平相距R、竖直相距R,求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】 (1)2 (2)
mgR (3)
m
【解析】 (1)由题意可知:lBC=7R-2R=5R①
设P到达B点时的速度为vB,由动能定理得
mglBCsin θ-μmglBCcos θ=mv②
式中θ=37°,联立①②式并由题给条件得
vB=2③
(2)设BE=x,P到达E点时速度为零,此时弹簧的弹性势能为Ep,由B→E过程,根据动能定理得
mgxsin θ-μmgxcos θ-Ep=0-mv④
E、F之间的距离l1为l1=4R-2R+x⑤
P到达E点后反弹,从E点运动到F点的过程中,由动能定理有
Ep-mgl1sin θ-μmgl1cos θ=0⑥
联立③④⑤⑥式得
x=R⑦
Ep=mgR⑧
(3)设改变后P的质量为m1,D点与G点的水平距离为x1和竖直距离为y1,θ=37°。由几何关系(如图所示)得:
x1=R-
Rsin θ=3R⑨
y1=R+R+
Rcos θ=
R⑩
设P在D点的速度为vD,由D点运动到G点的时间为t。
由平抛运动公式得:
y1=gt2
x1=vDt
联立⑨⑩得
vD=
设P在C点速度的大小为vC,在P由C运动到D的过程中机械能守恒,有
m1v=
m1v+m1g(
R+
cos θ)
P由E点运动到C点的过程中,由动能定理得
Ep-m1g(x+5R)sin θ-μm1g(x+5R)cos θ=m1v
联立⑦⑧得
m1=m
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)