Question

【题目】如图所示，均质杆的长度为，一端靠在光滑铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直面。如果要使杆子在面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？

Answer 1

【答案】其柱面的横截面的形状为的椭圆.

【解析】

如图所示,设柱面上点的坐标为,既然杆在任意位置都处于平衡,则这种平衡是随遇平衡,在此种情况下,杆的质心高度不会发生变化,一定在同一水平线上,以杆竖直放置为例,可知,杆的质心坐标为,对杆而言,显然有

。

整理得柱面的方程为.

显然,其柱面的横截面的形状为一椭圆.

对于平衡的稳度情形,无外乎三种情况:一是给予平衡体微扰后,据其合力来确定其平衡种类;二是给予平衡体微扰后,据其合力矩来确定其平衡种类;三是据其能量状态来确定其平衡种类。

本题解答的关键在于能根据“任意位置都是平衡位置”得到此杆的平衡为随遇平衡,再根据随遇平衡的物体的重心不变(能量特征)来求解。