题目内容
【题目】如图所示，两根刚性轻杆
和
在
端牢固黏接在一起，延长线与的夹角
为锐角，杆长为
，杆长为
.在杆的
、和
三点各固连一质量均为
的小球，构成一刚性系统.整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板.杆延长线与挡板垂直.现使该系统以大小为
、方向沿的速度向挡板平动.在某时刻，小球与挡板碰撞，碰撞结束时球在垂直于挡板方向的分速度为零，且球与挡板不粘连.若使球碰撞后，球先于球与挡板相碰，求夹角应满足的条件.
【答案】
【解析】
如图乙所示，建直角坐标系
，
轴与挡板垂直，
轴与挡板重合.碰撞前体系质心的速度为
，方向沿正方向，以
表示系统的质心，以
和
表示碰撞后质心的速度分量，
表示墙作用于小球
的冲量的大小.
根据质心运动定理有
，①
.②
由①②式得
，
.③
可在质心参考系中考察系统对质心的角动量.在球与挡板碰撞过程中，质心的坐标为
，
.④
球碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为
，则三小球对质心的角动量为
，⑤
式中
、
和
分别是
、
和三球到质心的距离，由图乙可知
.⑥
由⑤⑥式得
.⑦
在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系.在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力.但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球的冲量的冲量矩，即有
.⑧
由⑦⑧式得
.⑨
球相对于质心参考系的速度分量分别为
，⑩
.
球相对固定参考系速度的分量为
.
由③④⑨式得
.
根据题意有
.
由得
.
由⑨式得
.
球若先于球与挡板发生碰撞，则在球与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过
角，即杆
至少转到沿方向，如图丙所示.系统绕质心转过所需时间为
.
在此时间内质心沿方向向右移动的距离为
.
若
，
则球先于球与挡板碰撞.
由此可得
，
即.
本题是第29届全国高中物理竞赛复赛试题.
相对于前面两题而言，本题的对象更多，结构更复杂，过程也更多，难度自然也大了不少.但若能紧紧抓住动量、能量、角动量三方面的特性，特别是将动量守恒问题转化为对墙冲击时的冲量问题，灵活运用动量定理，就能正确解答本题；其次则是要盯住系统的质心，运用角动量定理，得到撞后系统绕质心转动的角速度；最后则是根据系统的结构，结合运动规律，完成解答.
实际上，在本题作为考题之前，前面两题已在各竞赛书籍中出现，而本题则是在前面两题基础上，通过对象、过程的增加，推高了试题的难度，但本质上并没有加入新的知识点.值得注意的是，这一命题思路在近年的竞赛命题中较为常见.
