Question

【题目】设 ，已知定义在R上的函数 在区间 内有一个零点 ， 为 的导函数. （Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，函数 ，求证： ；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由 ，可得 ， 进而可得 .令 ，解得 ，或 .
当x变化时， 的变化情况如下表：

x
	+	-	+
	↗	↘	↗

所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .
（Ⅱ）证明：由 ，得 ，
.

（III）证明：对于任意的正整数 ， ，且 ，
令 ，函数 .
由（II）知，当 时， 在区间 内有零点；
当 时， 在区间 内有零点.

所以 .所以，只要取 ，就有 .
【解析】