Question

【题目】已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且 ，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集为[﹣1，1]，即为

|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），

即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，

解得k=1；

（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，

+ + =1（a，b，c＞0），

则a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）

≥3+2 +2 +2 =3+2+2+2=9，

当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．

则有 ．

【解析】（Ⅰ）由题意可得|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），由绝对值不等式的解法，即可求得k=1；（Ⅱ）将k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ），展开运用基本不等式即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号，以及对二维形式的柯西不等式的理解，了解二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．