Question

【题目】如图甲所示，两个带正电Q的点电荷，固定放在x轴上的A、B两点处，AB中点为坐标原点，．在原点O放置另一质量为m、电荷为q的点电荷．

（1）当限制q只能在哪些方向上运动时（可以理解成有轨道加以约束），它在O处才是稳定的？

（2）讨论在这些方向上受扰动之后g的运动情况．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

假定q是正电荷，限制它在S轴上运动，假定它受到约束不能离开S轴运动，就无需考虑它在垂直于S轴方向上的受力。设它受扰动偏离O点发生微小位移（图乙中的），并设S轴与x轴正向夹角为．题中提到的“哪些方向”，就是指的取值范围能令q的平衡是稳定的．

q在P点受两个库仑斥力与作用，沿S轴的合力为

①

运用余弦定理，把、、、都力求用x和表示：

，

，

又因为，

得．

由，得

．

代入①式再整理，注意到项可以略去，得

②

根据②式，当时（图丙中打斜线的锥体区域内），为负，即合力方向与x相反，总指向原点，这是回复力的基本特性，q的平衡是稳定的．反之在的区域（图丙中未打上斜线的区域），为正，即合力方向与x方向相同，总背离原点，g的平衡是不稳定的．在平衡稳定的范围内，把②式改写为

③．

③式中的，可见q做简谐振动，其固有周期跟角的具体取值有关，由下式决定：

讨论：如果q是负电荷，根据相同的推理过程可知，结论刚好与上述相反。在的区域，平衡不稳定；在的区域，平衡稳定，负电荷做简谐振动，其固有周期为